Para demostrar la primera ley de Kepler del movimiento planetario podemos aplicar la segunda ley de Newton al planeta en cuestión.
Supóngase que el Sol se localiza en el origen. La fuerza gravitacional F que el Sol, de masa M, ejerce sobre el planeta de masa m es igual a:
Mm
F= -G-------u.
r^2
F es una fuerza dirigida a lo largo del vector de de posición r del planeta. G es la constante gravitacional, r= ||r||, u= r/r es un vector unitario en la dirección de r, y el signo negativo indica que F es una fuerza de atracción, es decir, una fuerza dirigida hacia el Sol. Debido a que esta fuerza está dirigida a lo largo del vector de posición del planeta, resulta como consecuencia directa que el momento angular L del planeta es constante.
Ahora aplicando la segunda ley de Newton del movimiento al planeta F=ma, resulta que:
d^2 -GM u
----- r = -------
dt^2 r^2
ahora bien, L= r x mv = m(r x v)= mc, donde c es un vector constante.
Se puede demostrar que:
d du
--(v x c ) = GM ---
dt dt
Integrando este ultimo resultado con respecto a t se obtiene v x c = GMu + d, donde d es otro vector constante. Efectuando el producto punto en ambos lados de esta última expresión por el vector r = ru y luego efectuando operaciones, podemos concluir que:
c^2/GM
r = ------------------ (1).
1+ (d/GM) cos A
donde c = ||c||, d = ||d|| y A es el ángulo entre d y r.
En el perihelio los vectores v y r son perpendiculares entre sí y tienen magnitudes v0 y r0 respectivamente, por lo tanto se deduce que c = v0r0 y d = r0v0^2 - GM.
La ecuacíon (1) corresponde a la formula general de una curva cónica con uno de sus focos en el origen expresada en coordenadas polares. El termino d/GM determina le excentricidad de la órbita. Es evidente que para todos los planetas, los cuales estan ligados al Sol por la fuerza de gravedad, este valor esta comprendido entre 0 y 1. por tanto queda demostrada la primera ley de Kepler del movimiento planetario.
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