Las Cónicas. Introducción a las curvas de segundo grado.

Hola.
Hoy hablaré de las cónicas. Cuando tomamos una recta llamada generatriz y le hacemos girar en torno a un eje que la corta oblicuamente por un punto V, obtendremos un doble cono de base circular recto.

 

Si cortamos el cono con un plano perpendicular al eje ( en un punto distinto de V ) obtendremos una Circunferencia. Al disminuir el ángulo del plano con respecto al eje de tal forma que sea menor que 90 grados y mayor que el ángulo formado por el eje y la generatriz, obtendremos en este caso una Elipse. Cuando este ángulo llega a ser igual al formado por el eje y la generatriz, entonces la curva obtenida se llama Parábola. Debemos observar que estos cortes hasta ahora efectuados solo cortan a uno de los lados del cono doble, son curvas únicas. Al seguir disminuyendo el ángulo de corte, o sea, cuando el ángulo entre el plano y el eje está comprendido entre cero y el ángulo del eje y la generatriz  obtendremos una curva doble denominada Hipérbola. Si el punto de intersección entre el plano de corte y el cono es V entonces las secciones formadas serán un tipo especial de cónicas, estas se conocen como Cónicas Degeneradas y son: Recta (cuando los puntos de intersección del plano y el cono lo componen la generatriz ), Punto ( cuando el plano corta el eje en un ángulo comprendido entre 90 grados y el formado por el eje y la generatriz ) y Dos Rectas que se cortan en cualquier otro caso.

 

secciones cónicas

Aunque se ha dado una definición puramente geométrica de estas curvas, también es posible ( y con mas precisión ) definirlas de manera analítica, como curvas de segundo grado en coordenadas rectangulares como sigue:

• Circunferencia: Conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado Centro. 
• Elipse: Conjunto de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados Focos es constante.
• Parábola: Conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto llamado Foco y una recta llamada Directriz (perpendicular al eje que pasa por el foco) es constante.
• Hipérbola: Conjunto de puntos tales que la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados Focos es constante.

las relaciones correspondientes a cada una de las curvas son: X^2+Y^2=R^2 para la Circunferencia, donde R es el radio, (X/A)^2+(Y/B)^2=1 para la Elipse donde A y B son los semiejes mayor y menor respectivamente , X^2= 4PY o Y^2= 4PX para la parábola donde P es la distancia al punto más cercano al foco y la directriz  llamado Vértice, y finalmente (X/A)^2-(Y/B)^2=1 para la Hipérbola con una definición similar para las A y B de la elipse.