Las Constelaciones, ¿Para qué sirven?

Desde tiempos inmemoriables el hombre ha observado el cielo, uniendo las estrellas formando constelaciones y, al mismo tiempo, les ha dado historias. Sin embargo, no hay que caer en el error de que las constelaciones solo sirven para contar anécdotas de héroes y monstruos, por más interesantes que sean.

En la antiguedad, los navegantes y los cormeciantes utilizaban las constelaciones para la navegación, con instrumentos como el astrolabio, el sexante y el octante determinaban su posición con respecto a su país de origen. El crear constelaciones les permitía orientarse desde cualquier perspectiva.

Si en una noche de verano vemos la constelación de la osa mayor, es posible conocer donde se encuentra el polo norte geográfico trazando una linea recta con las dos estrellas que forman la "espalda" y "pata delantera" de la osa, mostrando exactamente la estrella polar. Lo mismo si se observa al cisne, que aparece por el noreste; si se sigue el zodiaco, se encuentran el este y el oeste; mientras que el sur (en zonas cercanas al ecuador)seencuentra con la cruz del sur.

Las constelaciones siguen siendo utilizadas en la actualidad como método de navegación, los satélites y los transbordadores utilizan el sistema de constelaciones para determinar su posición con respecto a la tierra. También se utilizan para delimitar el espacio y posicionar los objetos celestes. Por eso se habla de la lluvia de meteoro dracónidas o las perseidas, debido a que su origen se encuentran en dichas constelaciones. Los mismo con las nebulosas, cúmulos estelares y estrellas, algunas de ellas recibiendo el nombre de su locación.

La Ley de la Gravitación Universal implica órbitas elípticas.

Para demostrar la primera ley de Kepler del movimiento planetario podemos aplicar la segunda ley de Newton al planeta en cuestión. 


Supóngase que el Sol se localiza en el origen. La fuerza gravitacional F que el Sol, de masa M, ejerce sobre el planeta de masa m es igual a:
            Mm
F= -G-------u.                                   
             r^2

F es una fuerza dirigida a lo largo del vector de de posición r del planeta. G es la constante gravitacional, r= ||r||, u= r/r es un vector unitario en la dirección de r, y el signo negativo indica que F es una fuerza de atracción, es decir, una fuerza dirigida hacia el Sol. Debido a que esta fuerza está dirigida a lo largo del vector de posición del planeta, resulta como consecuencia directa que el momento angular L del planeta es constante. 


Ahora aplicando la segunda ley de Newton  del movimiento al planeta F=ma, resulta que:


d^2           -GM u
----- r =       -------  
dt^2              r^2


ahora bien, L= r x mv = m(r x v)= mc, donde c es un vector constante.
Se puede demostrar que:


d                       du  
--(v x c ) = GM ---   
dt                      dt


Integrando este ultimo resultado con respecto a t se obtiene v x c = GMu + d, donde d es otro vector constante. Efectuando el producto punto en ambos lados de esta última expresión por el vector r = ru y luego efectuando operaciones, podemos concluir que:


              c^2/GM
r =  ------------------                        (1).
       1+ (d/GM) cos A


donde c = ||c||, d = ||d|| y A es el ángulo entre d y r.


En el perihelio los vectores v y r son perpendiculares entre sí y tienen magnitudes v0 y r0 respectivamente, por lo tanto se deduce que c = v0r0 y d = r0v0^2 - GM.


La ecuacíon (1) corresponde a la formula general de una curva cónica con uno de sus focos en el origen expresada en coordenadas polares.  El termino d/GM determina le excentricidad de la órbita. Es evidente que para todos los planetas, los cuales estan ligados al Sol por la fuerza de gravedad, este valor esta comprendido entre 0 y 1. por tanto queda demostrada la primera ley de Kepler del movimiento planetario.

Newton y la Ley de la Gravitación Universal

Fue Robert Hooke que introdujo a Newton en el problema de analizar una trayectoria curva. Deseaba saber cuál era la curva resultante de un objeto al que se le imprime una fuerza inversa al cuadrado de la distancia. En una de sus cartas a Newton, Hooke termina esa carta diciendo: "No dudo que usted, con su excelente método, encontrará fácilmente cuál ha de ser esta curva."

En 1684 Newton informó a su amigo Edmund Halley (quien por entonces ya había observado el cometa que luego llevaría su nombre) de que había resuelto el problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.Aunque muchos astrónomos no utilizaban las leyes de Kepler, Newton intuyó su gran importancia y las engrandeció demostrándolas a partir de su ley de la gravitación universal. 

El enuciado de esta ley puede expresarse de la siguiente forma:

La Fuerza de gravedad(que es siempre de atracción) ejercida por una partícula de masa M1 sobre otra de masa M2 y vice versa, es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R que los separa. 

matemáticamente se expresa como sigue:

F= G(M1*M2)/R^2, donde G es la constante de gravitación universal dada por G= 6.67x10^-11 (N*m^2/kg^2) en unidades del SI.


Es importante probar que la tercera ley de Kepler puede deducirse a partir de la ley de la gravitación universal para órbitas circulares. Considerando un planeta de masa Mp que se mueve al rededor del Sol de masa Ms en una órbita circular y luego aplicando la segunda ley de Newton al planeta obtentemos:


G(Mp*Ms)/R^2= Mp*v^2/R


como la rapidez orbital del planeta v=2pi*R/T, donde T es el periodo de revolución, la expresión anterior se convierte en:


GMs/R^2=(2pi*R/T)^2/R


que podemos expresarlo como:

• T^2= [4pi^2/(G*Ms)]*R^3= Ks*R^3   

donde Ks es la constante dada por:


Ks=[4pi^2/(G*Ms)]= 2.97x10^-19 s^2/m^3


La ecuación en negrita es la tercera ley de Kepler. esta expresión es válida para órbitas elípticas si se sustituye R por la longitud del semieje mayor de la órbita a.


para la próxima entrada veremos cómo las órbitas elípticas son consecuencia directa de la LGU. Hasta luego.